总谐波畸变率 THD 的计算公式整理：MATLAB 官方公式与论文常用公式对比

1. 前言

在电力电子、并网逆变器、储能变流器、电机驱动以及电能质量分析中，总谐波畸变率 Total Harmonic Distortion，简称 THD，是评价电压或电流波形质量的重要指标。

例如，在并网储能变流器实验中，通常需要给出并网电流 THD，用于说明控制策略是否能够满足较好的电流质量要求。很多论文中会写：

The current THD is reduced from 5.8% to 2.3%.

但是，THD 的计算公式并不是只有一种写法。尤其是在 MATLAB 中，thd() 函数默认返回的是 dBc，而不是百分比，这一点非常容易导致误用。

本文将系统梳理以下几个问题：

1. THD 到底有哪些常见计算公式？
2. MATLAB 官方 thd() 函数采用的公式是什么？
3. 电力电子论文中最常用的 THD 公式是什么？
4. THD、distortion factor 和 TDD 有什么区别？
5. 实验和论文中应该如何规范表述 THD？

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2. THD 的基本定义

假设一个周期性电压或电流信号可以分解为：

$$x(t)=x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)+\cdots +x_H(t)$$

其中：

• $x_1(t)$：基波分量；
• $x_h(t)$：第 $h$ 次谐波分量；
• $H$：计算时考虑的最高谐波次数；
• $X_1$：基波 RMS 值；
• $X_h$：第 $h$ 次谐波 RMS 值。

最经典、最常用的 THD 定义为：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{X}_h^2}}{X_1}\times 100$$

也就是：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{X_2^2+X_3^2+\cdots +X_H^2}}{X_1}\times 100$$

这个公式的含义非常明确：

THD = 所有谐波分量 RMS 合成值 / 基波 RMS 值。

注意，这里的分母是 基波 RMS 值，不是总 RMS 值。

3. 电压 THD 与电流 THD

对于电压信号，其总谐波畸变率可以写为：

$$\mathrm{THD}\ast v=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{V}_h^2}}{V_1}\times 100$$

展开后为：

$${\mathrm{THD}}_v=\frac{\sqrt{V_2^2+V_3^2+\cdots +V_H^2}}{V_1}\times 100$$

其中：

• $V_1$ 为基波电压 RMS 值；
• $V_h$ 为第 $h$ 次谐波电压 RMS 值。

对于电流信号，其总谐波畸变率可以写为：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

展开后为：

$${\mathrm{THD}}_i=\frac{\sqrt{I_2^2+I_3^2+\cdots +I_H^2}}{I_1}\times 100$$

其中：

• $I_1$ 为基波电流 RMS 值；
• $I_h$ 为第 $h$ 次谐波电流 RMS 值。

在并网变流器实验中，最常见的是计算并网电流 THD，即：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

4. 论文中最常用的 THD 公式

在电力电子、并网逆变器、储能变流器、电机驱动等论文中，最常用的 THD 公式就是：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{X}_h^2}}{X_1}\times 100$$

其中，$X$ 可以表示电压或电流。

例如，对于并网电流 THD，通常写为：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^{50}{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

这里取 $H=50$，表示计算到第 50 次谐波。

对于 50 Hz 系统，第 50 次谐波对应频率为：

$$f_{50}=50\times 50=2500\mathrm{Hz}$$

因此，在 50 Hz 电力系统中，计算到第 50 次谐波通常意味着分析频率范围到 2500 Hz。

论文中建议写成：

The current THD is calculated as

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

where $I_1$ is the RMS value of the fundamental current component, $I_h$ is the RMS value of the $h$-th harmonic current component, and $H$ is the highest harmonic order considered in the analysis.

如果是中文论文，可以写为：

其中，$I_1$ 为基波电流有效值，$I_h$ 为第 $h$ 次谐波电流有效值，$H$ 为计算中考虑的最高谐波次数。

5. MATLAB 官方 thd() 函数的公式

MATLAB Signal Processing Toolbox 中提供了 thd() 函数用于计算总谐波畸变率。

需要特别注意的是：

MATLAB 的 thd() 函数默认返回的是 dBc，而不是百分比。

其官方计算本质为：

$$\mathrm{THD}\ast \mathrm{dBc}=10\log \ast 10\left(\frac{{\sum }_{h=2}^H{A}_h^2}{A_1^2}\right)$$

等价地，也可以写成：

$$\mathrm{THD}\ast \mathrm{dBc}=20\log \ast 10\left(\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{A}_h^2}}{A_1}\right)$$

其中：

• $A_1$ 为基波幅值；
• $A_h$ 为第 $h$ 次谐波幅值；
• ${\sum }_{h=2}^H{A}_h^2$ 表示所有谐波分量的功率和。

因此，MATLAB thd() 的结果本质上是：

谐波总功率与基波功率之比，再转换为 dB 形式。

6. MATLAB dBc 与百分比 THD 的转换

如果 MATLAB 得到的结果为：

thd_dbc = thd(x,Fs,N);

那么该结果单位是 dBc。

若要转换成百分比形式，应使用：

KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …rm{dBc}}}{20}}

对应 MATLAB 代码为：

thd_dbc = thd(x,Fs,N);
thd_percent = 100*10^(thd_dbc/20);

例如，如果 MATLAB 返回：

thd_dbc = -40;

则对应的百分比 THD 为：

thd_percent = 100*10^(-40/20);

即：

KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …imes10^{-2}=1%

所以：

$$-40\mathrm{dBc}⟺1$$

这是实验数据处理中非常容易出错的地方。

7. MATLAB thd() 中谐波数参数的含义

MATLAB 中常用调用形式为：

r = thd(x,Fs,N);

其中：

• x：输入信号；
• Fs：采样频率；
• N：参与计算的谐波数。

需要注意的是，MATLAB 中的 N 通常包含基波。

例如：

thd_dbc = thd(x,Fs,50);

表示计算基波到第 50 次谐波范围内的 THD。

如果想得到百分比形式：

thd_dbc = thd(x,Fs,50);
thd_percent = 100*10^(thd_dbc/20);

8. 由 RMS 值直接计算 THD

如果已经通过 FFT 或其他方法得到了各次谐波的 RMS 值，则可以直接计算 THD。

假设已经得到：

I1 = 10;      % 基波电流 RMS
I5 = 0.3;     % 5次谐波 RMS
I7 = 0.2;     % 7次谐波 RMS
I11 = 0.1;    % 11次谐波 RMS

则 THD 可以计算为：

THD_percent = sqrt(I5^2 + I7^2 + I11^2)/I1*100;

对应公式为：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{I_5^2+I_7^2+I\ast {11}^2}}{I_1}\times 100$$

如果谐波数据存储在数组中：

Ih = [10, 0.3, 0.2, 0.1];  % 第一个元素为基波，后面为谐波
I1 = Ih(1);
I_harmonic = Ih(2:end);

THD_percent = sqrt(sum(I_harmonic.^2))/I1*100;

9. 由总 RMS 计算 THD 的等效公式

如果信号中不含直流分量，或者直流分量已经被去除，则有：

$$X_{\mathrm{rms}}^2=X_1^2+X_2^2+X_3^2+\cdots +X_H^2$$

因此：

$$X_2^2+X_3^2+\cdots +X_H^2=X_{\mathrm{rms}}^2-X_1^2$$

于是 THD 也可以写为：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{X_{\mathrm{rms}}^2-X_1^2}}{X_1}\times 100$$

如果信号中包含直流分量 $X_0$，则需要扣除直流分量：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{X_{\mathrm{rms}}^2-X_0^2-X_1^2}}{X_1}\times 100$$

这种公式在实验数据处理中也很常见。

但是需要注意：

这种写法会把所有非基波成分都计入失真，包括噪声、间谐波、非整数频率分量和开关频率附近的成分。

因此，如果论文中采用该公式，需要说明数据处理方式，例如：

• 是否去除直流分量；
• 是否只统计整数次谐波；
• 是否排除间谐波；
• 是否限定最高谐波次数；
• 是否采用稳态时间窗。

10. 另一种容易混淆的公式：以总 RMS 为分母

有些资料中还会出现如下定义：

$$\mathrm{THD}\ast R=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{X}_h^2}}{\sqrt{{\sum }_{h=1}^H{X}_h^2}}\times 100$$

也就是：

$${\mathrm{THD}}_R=\frac{\sqrt{X_2^2+X_3^2+\cdots +X_H^2}}{\sqrt{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_H^2}}\times 100$$

该定义的分母是总 RMS，而不是基波 RMS。

它与常用 THD 定义之间的关系为：

$${\mathrm{THD}}_R=\frac{{\mathrm{THD}}_F}{\sqrt{1+{\mathrm{THD}}_F^2}}$$

其中：

• ${\mathrm{THD}}_F$ 表示以基波为分母的 THD；
• ${\mathrm{THD}}_R$ 表示以总 RMS 为分母的失真率。

在电力电子论文中，通常采用的是 ${\mathrm{THD}}_F$，即：

$$\mathrm{THD}\ast F=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{X}_h^2}}{X_1}\times 100$$

而不是以总 RMS 为分母的 ${\mathrm{THD}}_R$。

11. THD 与 TDD 的区别

在电流谐波评价中，还经常会遇到另一个指标：TDD，Total Demand Distortion，即总需求畸变率。

THD 的定义为：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

而 TDD 的定义为：

$$\mathrm{TDD}=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{I}_h^2}}{I_L}\times 100$$

二者的区别在于分母不同：

指标	分子	分母	常见用途
THD	谐波电流 RMS 合成值	当前基波电流 $I_1$	波形质量评价、实验结果对比
TDD	谐波电流 RMS 合成值	最大需求负荷电流 $I_L$	电能质量标准、并网点谐波合规性评价

因此：

• 如果是评价变流器输出电流质量，通常使用 THD；
• 如果是按照 IEEE 519 等电能质量标准评价公共连接点谐波水平，则可能需要使用 TDD。

12. FFT 计算 THD 时的注意事项

在 MATLAB 中，如果自己通过 FFT 计算 THD，需要注意以下几点。

12.1 基波频率要准确

对于 50 Hz 系统，应保证基波频率为：

$$f_1=50\mathrm{Hz}$$

第 $h$ 次谐波频率为：

$$f_h=h{f}_1$$

例如：

$$f_5=5\times 50=250\mathrm{Hz}$$

$$f_7=7\times 50=350\mathrm{Hz}$$

$$f_{50}=50\times 50=2500\mathrm{Hz}$$

12.2 尽量使用整周期采样

如果采样窗口不是基波周期的整数倍，会产生频谱泄漏，导致谐波幅值计算不准确。

例如，50 Hz 系统的一个周期为：

$$T_1=\frac{1}{50}=0.02\mathrm{s}$$

如果选取 10 个周期，则时间窗为：

$$T_{\mathrm{win}}=10T_1=0.2\mathrm{s}$$

12.3 明确 RMS 还是峰值

THD 公式中通常使用 RMS 值。

如果 FFT 得到的是峰值幅值，只要基波和谐波均采用同一种幅值定义，则比例中 $\sqrt{2}$ 会相互抵消。因此，用峰值或 RMS 计算出的 THD 比例是一致的。

但是论文中建议统一表述为 RMS 值：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{X}_h^2}}{X_1}\times 100$$

where $X_h$ denotes the RMS value of the $h$-th harmonic component.

12.4 明确是否包含直流分量

THD 计算一般不包含直流分量。若信号存在直流偏置，应先去除直流分量：

x = x - mean(x);

12.5 明确是否包含间谐波和噪声

标准 THD 通常只统计整数次谐波：

$$2f_1,3f_1,4f_1,\cdots ,H{f}_1$$

而不包括间谐波、宽频噪声和非整数倍频率分量。

如果采用总 RMS 减基波 RMS 的方法，可能会把这些成分也纳入计算，因此需要谨慎。

13. MATLAB 手动计算 THD 示例

下面给出一个简单示例，假设信号由基波、5 次谐波和 7 次谐波组成。

clear; clc;

Fs = 10000;          % 采样频率
f1 = 50;             % 基波频率
T = 0.2;             % 采样时长，10个基波周期
t = 0:1/Fs:T-1/Fs;

% 构造信号
x1 = 10*sqrt(2)*sin(2*pi*f1*t);       % 基波 RMS = 10
x5 = 0.3*sqrt(2)*sin(2*pi*5*f1*t);    % 5次谐波 RMS = 0.3
x7 = 0.2*sqrt(2)*sin(2*pi*7*f1*t);    % 7次谐波 RMS = 0.2

x = x1 + x5 + x7;

% 理论 THD
I1 = 10;
I5 = 0.3;
I7 = 0.2;

THD_percent_theory = sqrt(I5^2 + I7^2)/I1*100

理论结果为：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{0.3^2+0.2^2}}{10}\times 100$$

如果使用 MATLAB thd()：

thd_dbc = thd(x,Fs,7);
thd_percent = 100*10^(thd_dbc/20);

其中：

• thd_dbc 为 dBc；
• thd_percent 为百分比 THD。

14. 论文中推荐的英文表述

在 IEEE 风格论文中，建议不要只写：

The THD is calculated by FFT.

这种表述过于简单，不够规范。

建议写为：

The current total harmonic distortion (THD) is calculated based on the RMS values of the harmonic components as

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

where $I_1$ denotes the RMS value of the fundamental current component, $I_h$ denotes the RMS value of the $h$-th harmonic current component, and $H$ is the highest harmonic order considered in the calculation.

如果需要说明采用第 50 次谐波，可以写为：

In this study, the harmonic components up to the 50th order are considered in the THD calculation.

如果需要说明基波频率为 50 Hz，可以写为：

The fundamental frequency is 50 Hz, and the harmonic components from the 2nd to the 50th order are included.

如果需要说明 MATLAB 处理方式，可以写为：

The THD obtained by the MATLAB thd function is converted from dBc to percentage using

KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …thrm{dBc}}/20}

15. 论文中推荐的中文表述

中文论文或实验报告中可以写为：

本文采用各次谐波有效值计算并网电流总谐波畸变率，其表达式为：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^H{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

式中，$I_1$ 为基波电流有效值，$I_h$ 为第 $h$ 次谐波电流有效值，$H$ 为计算中考虑的最高谐波次数。本文计算至第 50 次谐波。

也可以进一步说明：

在 MATLAB 中，thd() 函数默认输出单位为 dBc，本文将其转换为百分比形式：

KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …thrm{dBc}}/20}

16. 常见误区总结

误区 1：把 MATLAB thd() 的结果直接当成百分比

错误写法：

THD_percent = thd(x,Fs,50);

这是不对的，因为 thd() 返回的是 dBc。

正确写法：

THD_dbc = thd(x,Fs,50);
THD_percent = 100*10^(THD_dbc/20);

误区 2：把总 RMS 当成分母

常用 THD 的分母是基波 RMS：

$$X_1$$

而不是总 RMS：

$$X_{\mathrm{rms}}$$

论文中最常用的是：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{X}_h^2}}{X_1}\times 100$$

误区 3：没有说明谐波次数上限

不同的 $H$ 会得到不同的 THD。

例如：

$$H=20$$

和

$$H=50$$

计算结果可能不同。

因此论文中应说明：

Harmonic components up to the 50th order are considered.

误区 4：没有区分 THD 和 TDD

THD 的分母是当前基波电流：

$$I_1$$

TDD 的分母是最大需求负荷电流：

$$I_L$$

二者不能混用。

误区 5：没有去除直流分量

THD 一般不包括直流分量，因此在数据处理时应注意去除直流偏置：

x = x - mean(x);

17. 总结

THD 最常用、最标准的公式为：

$$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{{\sum }_{h=2}^H{X}_h^2}}{X_1}\times 100$$

其中：

• $X_1$ 为基波 RMS 值；
• $X_h$ 为第 $h$ 次谐波 RMS 值；
• $H$ 为最高谐波次数。

MATLAB thd() 函数的官方输出为 dBc：

$$\mathrm{THD}\ast \mathrm{dBc}=10\log \ast 10\left(\frac{{\sum }_{h=2}^H{X}_h^2}{X_1^2}\right)$$

若要转换为百分比，应使用：

KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …rm{dBc}}}{20}}

对于电力电子和并网变流器论文，推荐采用：

$$\mathrm{THD}\ast i=\frac{\sqrt{\sum \ast {h=2}^{50}{I}_h^2}}{I_1}\times 100$$

并在文中明确说明：

1. 基波频率；
2. 谐波次数上限；
3. 是否去除直流分量；
4. 是否只统计整数次谐波；
5. MATLAB 输出是否已由 dBc 转换为百分比。

这样可以避免 THD 计算结果在 MATLAB、实验报告和论文表述之间出现不一致。

转载自CSDN-专业IT技术社区

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_44114030/article/details/160922671